バカラの確率と計算方法

バカラの確率を求めました。（というか求めてもらいました）

バカラの確率って絶妙ですよね。

タイ（引き分け）を除けば一般的にはBanker：Playerが出る確率は約半々（50%）だ、なんて言われて攻略を考える人もいますし。

しかし最も世界中の多くの資料で使われている確率は、8デック（8組）トランプでバンカー50.68%：プレイヤー49.32%ではないでしょうか。バンカーの方が若干多く出るわけです。

この確率がどのようにして求められたのか、その計算方法をお伝えしていくのが今回の記事となっています。

8デックと1デックバカラの確率は異なる

ジョーカーを除くトランプ52枚で1組(デック）とすると、カジノで使われるバカラは概ね6～8デック416枚であることが多いと思います。

そして1デックと8デックそれぞれでバンカー/プレイヤー/タイが出る確率は若干異なります。

	8デッキ	1デッキ
バンカー	0.458597	0.459624
プレイヤー	0.446247	0.44676
タイ	0.095156	0.093615

1デックの方がバンカーの勝率が若干いいのがわかりますね。また8デッキの方がタイが出やすい。

タイを除くバンカーとプレイヤーの確率は以下のようになります。（タイが出たら賭け金は戻されるのでタイを除いて考えても構わないので）

	8デッキ	1デッキ
バンカー	0.50682483	0.507096174
プレイヤー	0.49317517	0.492903826

ゲーム進行によって確率は変化する

8デッキで開始した場合、ゲーム進行によって使用済みカードは取り除かれていくので、そのたびに確率は少しずつ変化していきます。

まずバカラのゲーム進行のロジックを再確認

バカラはバンカーとプレイヤーに分かれて配られたカードの合計点で9点に近い方が勝ち（同点は引き分け）というゲームですね。

以下の流れでゲームが進行します。（詳細はバカラのルール）

このロジックにあてはめてバカラのカード配布で起こりうるすべてのパターンを数え上げることによって、バンカー/プレイヤー/タイが発生する確率をもとめていきます。

結論→1デックと8デックバカラで全ての事象数と確率

まず結論をお伝えすると以下のようになります。

この結論にむかって確率の計算方法を解説していきます。

1デックと8デックの時の全ての事象数です。

	1デッキ	8デッキ
バンカー	6737232640	2292252566437890
プレイヤー	6548674432	2230518282592260
タイ	1372227328	475627426473216
合計	14658134400	4998398275503360

組み合わせの合計で各事象を割り算して、確率になおすと以下のようになります。

	1デッキ	8デッキ
バンカー	0.459624155	0.458597423
プレイヤー	0.44676043	0.446246609
タイ	0.093615415	0.095155968
合計	1	1

タイの引き分けを除き、バンカーとプレイヤーのみで見た場合

	1デッキ	8デッキ
バンカー	0.507096174	0.50682483
プレイヤー	0.492903826	0.49317517
合計	1	1

バカラの確率の計算方法

考え方としては以下のように100万通りの総当たりの事象を数えていきます。

左の数字からプレイヤーの1枚目、2枚目、3枚目。バンカーの1枚目、2枚目、3枚目に配られたカードとなります。

ここまで100万通り。勿論0点のカードは[10][J][Q][K]のことですよ。

では、1デッキ52枚の場合で、組み合わせ数を数えるために、事例を見て行きましょう。

事例

0 0 0 0 0 0のケース
これは0点カードが6枚です。
0点カードは前述のように10、J、Q、Kが4枚ずつありますので全部で16枚。
その16枚のカードから6枚取るとりかたは、16P6＝5765760通りあります。

0 0 0 0 0 1のケース
これは0点が5枚と、1点が1枚。
16枚ある0点カードから5枚をトル総数は16P5＝524160
4枚ある1点カードから1枚をトル総数は4P1＝4
524160 * 4 ＝ 2096640通り。

0 4 1 0 5 2のケース
これは0点が2枚、4点が1枚、1点が1枚、5点が1枚、2点が1枚。
16P2 * 4P1 * 4P1 * 4P1 * 4P1 ＝　61440通り。

こんな感じで数えていきます。

ややこしいところはここでしょう。

4 2 0 0 7 0のケース
これは4点が1枚、2点が1枚、0点が3枚、7点が1枚。
4P1 * 4P1 * 16P3 * 4P1　＝　215040通り。

あれ？バカラって最初の2枚で6点以上が出たら、3枚目は引かないんじゃなかったっけ？

そうですね。実際3枚目は引かないので、本来のバカラゲームでは以下のようになるはずです。

プレイヤー 4 2
バンカー 0 7
でバンカーの勝ち

でも今回の確率の計算では、全てのパターンを数え上げていく際に以下の様にプレイヤーに3枚、バンカーに3枚配る形にしています。

X X X X X X　　・・・　Ａ

ところで、2枚2枚だと

X X X X　・・・　Ｂ

となってしまいます。Ａという根元事象とＢという根元事象が出る確率は異なります。（Ｂのほうが出やすい） このＡとＢの事象は「同様に確からしくない」ので、いっしょくたにカウントできませんので、補正を行う必要があります。

補正の計算を簡単にするために3枚目も配ったと想定すると、補正なしでカウントしてもよい根元事象にすることができます。

つまり4 2 - 0 7になる可能性は

4 2 0 0 7 0 ～　4 2 9 0 7 9ぐらいの重みがある、ってイメージで捉えるとわかりやすい。

これは全パターンを数え上げて確率を求める際のテクニックで、3枚目を引いたテイで数えていくことで可能になります。

もう1つのややこしいところ

5 5 5 5 5 5のケース
これは5点カードが6枚だから、4枚ある5点のカードから6枚をトル組み合わせの計算、という現実に起こりえないことになります。つまりこのパターン数は0。という事に気を付けていきます。

8デッキの場合は、カード枚数が8倍になるのを考慮します。

1 0 0 0 2 3のケースだけ見ておきます。
0点カードは16枚×8デッキ＝128枚もありますね。
1点カードは4枚×8デッキ＝32枚、同様に2点カードも3点カードも32枚。
32P1 * 128P3 * 32P1 * 32P1　＝　67117252608通り。

これで100万通りの出目が起こる組み合わせを足し算していくと、最初に出した結論のとおり、以下の結果を得ることができます。

1デックと8デックそれぞれの全ての組み合わせ数です。

	1デッキ	8デッキ
バンカー	6737232640	2292252566437890
プレイヤー	6548674432	2230518282592260
タイ	1372227328	475627426473216
合計	14658134400	4998398275503360

1デッキのプレイヤーとバンカーの点数毎の組み合わせと確率

プレイヤーの点数が0点で、バンカーの点数が0点になるケースから、プレイヤー9点・バンカー9点までの組み合わせを表にしました。

（1デッキ52枚バカラ）

プレイヤー	バンカー	組み合わせ	確率	勝者
0	0	76551360	0.005222449	タイ
0	1	68763392	0.004691142	バンカー
0	2	66911616	0.004564811	バンカー
0	3	76947584	0.00524948	バンカー
0	4	129684480	0.00884727	バンカー
0	5	133229824	0.009089139	バンカー
0	6	136411136	0.009306173	バンカー
0	7	155182208	0.010586764	バンカー
0	8	241059840	0.016445465	バンカー
0	9	247555904	0.016888637	バンカー
1	0	69462784	0.004738856	プレイヤー
1	1	60494080	0.004126997	タイ
1	2	59537920	0.004061767	バンカー
1	3	69313504	0.004728672	バンカー
1	4	119907264	0.008180254	バンカー
1	5	124109248	0.00846692	バンカー
1	6	120338112	0.008209647	バンカー
1	7	138788192	0.009468339	バンカー
1	8	171024832	0.011667572	バンカー
1	9	175285568	0.011958245	バンカー
2	0	67277696	0.004589786	プレイヤー
2	1	58975360	0.004023388	プレイヤー
2	2	56544096	0.003857523	タイ
2	3	66718464	0.004551634	バンカー
2	4	111303168	0.00759327	バンカー
2	5	127310912	0.008685342	バンカー
2	6	124328864	0.008481902	バンカー
2	7	134938688	0.00920572	バンカー
2	8	165202112	0.011270337	バンカー
2	9	169312064	0.011550724	バンカー
3	0	67271936	0.004589393	プレイヤー
3	1	58639136	0.00400045	プレイヤー
3	2	56806784	0.003875444	プレイヤー
3	3	65871744	0.00449387	タイ
3	4	111848704	0.007630487	バンカー
3	5	136109568	0.0092856	バンカー
3	6	133009248	0.009074091	バンカー
3	7	137169408	0.009357904	バンカー
3	8	168635904	0.011504595	バンカー
3	9	172932160	0.011797692	バンカー
4	0	68846528	0.004696814	プレイヤー
4	1	60202496	0.004107105	プレイヤー
4	2	58628864	0.003999749	プレイヤー
4	3	59903616	0.004086715	プレイヤー
4	4	103677600	0.007073042	タイ
4	5	123262784	0.008409173	バンカー
4	6	132507200	0.009039841	バンカー
4	7	136648704	0.00932238	バンカー
4	8	166909056	0.011386787	バンカー
4	9	170556032	0.011635589	バンカー
5	0	71825664	0.004900055	プレイヤー
5	1	63417152	0.004326414	プレイヤー
5	2	61573248	0.00420062	プレイヤー
5	3	62842112	0.004287184	プレイヤー
5	4	100615296	0.006864127	プレイヤー
5	5	118393280	0.008076968	タイ
5	6	136613760	0.009319996	バンカー
5	7	140949056	0.009615757	バンカー
5	8	172528832	0.011770177	バンカー
5	9	177478720	0.012107866	バンカー
6	0	161342208	0.011007008	プレイヤー
6	1	143955520	0.009820862	プレイヤー
6	2	141683936	0.009665891	プレイヤー
6	3	145048352	0.009895417	プレイヤー
6	4	149367168	0.010190053	プレイヤー
6	5	167527232	0.01142896	プレイヤー
6	6	272518848	0.018591646	タイ
6	7	297135552	0.020271035	バンカー
6	8	224742144	0.015332247	バンカー
6	9	229770240	0.015675272	バンカー
7	0	167840640	0.011450341	プレイヤー
7	1	150818272	0.01028905	プレイヤー
7	2	146639424	0.010003962	プレイヤー
7	3	151179584	0.010313699	プレイヤー
7	4	147993216	0.01009632	プレイヤー
7	5	166613120	0.011366598	プレイヤー
7	6	280233600	0.019117958	プレイヤー
7	7	301702112	0.020582572	タイ
7	8	233052544	0.015899195	バンカー
7	9	239069120	0.016309655	バンカー
8	0	249762688	0.017039187	プレイヤー
8	1	179354304	0.012235821	プレイヤー
8	2	173924224	0.011865372	プレイヤー
8	3	191360960	0.013054933	プレイヤー
8	4	186164992	0.012700456	プレイヤー
8	5	198932928	0.013571504	プレイヤー
8	6	208709952	0.014238507	プレイヤー
8	7	229301504	0.015643294	プレイヤー
8	8	153755136	0.010489407	タイ
8	9	163139008	0.011129589	バンカー
9	0	256475968	0.017497177	プレイヤー
9	1	183767680	0.012536908	プレイヤー
9	2	178113600	0.012151178	プレイヤー
9	3	192293120	0.013118526	プレイヤー
9	4	198309056	0.013528942	プレイヤー
9	5	204179904	0.01392946	プレイヤー
9	6	213591040	0.014571502	プレイヤー
9	7	235075712	0.016037219	プレイヤー
9	8	162825856	0.011108225	プレイヤー
9	9	162719072	0.01110094	タイ
合計		14658134400	1

このようになります。合計すると以下のとおりです。プレイヤーよりバンカーの方が勝ちやすいのがわかりますね。

結果	組み合わせ
バンカー勝利	6737232640
プレイヤー勝利	6548674432
タイ	1372227328

8デッキのプレイヤーとバンカーの点数毎の組み合わせと確率

こちらが8デッキ416枚でプレイした場合の、プレイヤー0点・バンカー0点～プレイヤー9点バンカー9点までの組み合わせを表にしたものです。

プレイヤー	バンカー	組み合わせ	確率	勝者
0	0	28979901420544	0.005797838	タイ
0	1	24291119898624	0.004859781	バンカー
0	2	24211866148864	0.004843925	バンカー
0	3	26957461020672	0.00539322	バンカー
0	4	46033607532544	0.009209672	バンカー
0	5	46171612971008	0.009237282	バンカー
0	6	48639204401152	0.009730958	バンカー
0	7	54083703291904	0.010820207	バンカー
0	8	85076577230848	0.017020768	バンカー
0	9	85351454494720	0.017075761	バンカー
1	0	24639193538560	0.004929418	プレイヤー
1	1	20499217668352	0.004101157	タイ
1	2	20469715722240	0.004095255	バンカー
1	3	23203622991872	0.004642212	バンカー
1	4	40593010774016	0.008121204	バンカー
1	5	40755264745472	0.008153665	バンカー
1	6	40608057946112	0.008124214	バンカー
1	7	46026293614592	0.009208209	バンカー
1	8	57774350200832	0.011558573	バンカー
1	9	57948328357888	0.01159338	バンカー
2	0	24214066700288	0.004844365	プレイヤー
2	1	20114458411008	0.004024181	プレイヤー
2	2	20006606104576	0.004002603	タイ
2	3	22766694555648	0.004554798	バンカー
2	4	38585331400704	0.007719539	バンカー
2	5	42895386193920	0.008581826	バンカー
2	6	42768049588224	0.008556351	バンカー
2	7	45544433684480	0.009111806	バンカー
2	8	57197896224768	0.011443245	バンカー
2	9	57372732461056	0.011478223	バンカー
3	0	23748210556928	0.004751164	プレイヤー
3	1	19634953029632	0.003928249	プレイヤー
3	2	19563259723776	0.003913906	プレイヤー
3	3	22250510129408	0.004451528	タイ
3	4	38147840425984	0.007632013	バンカー
3	5	45111417946112	0.009025175	バンカー
3	6	44979215931392	0.008998726	バンカー
3	7	45155412082688	0.009033976	バンカー
3	8	56875337277440	0.011378713	バンカー
3	9	57051058384896	0.011413868	バンカー
4	0	24642962657280	0.004930172	プレイヤー
4	1	20535822327808	0.004108481	プレイヤー
4	2	20465430315008	0.004094398	プレイヤー
4	3	20521555795968	0.004105626	プレイヤー
4	4	36294133463040	0.007261153	タイ
4	5	41782247059456	0.008359127	バンカー
4	6	45802040381440	0.009163344	バンカー
4	7	45975559438336	0.009198058	バンカー
4	8	57616152412160	0.011526923	バンカー
4	9	57790127128576	0.011561729	バンカー
5	0	25228523110400	0.005047322	プレイヤー
5	1	21127406358528	0.004226835	プレイヤー
5	2	21055697346560	0.004212489	プレイヤー
5	3	21104461946880	0.004222245	プレイヤー
5	4	34322188435456	0.006866637	プレイヤー
5	5	39684046743808	0.007939353	タイ
5	6	46435736207360	0.009290123	バンカー
5	7	46610049437696	0.009324997	バンカー
5	8	58332350017536	0.011670208	バンカー
5	9	58535141937152	0.01171078	バンカー
6	0	57372381863936	0.011478153	プレイヤー
6	1	48967402696704	0.009796619	プレイヤー
6	2	48870027180032	0.009777137	プレイヤー
6	3	48999874119680	0.009803115	プレイヤー
6	4	51520246087680	0.010307351	プレイヤー
6	5	56928963244032	0.011389441	プレイヤー
6	6	96170001308416	0.019240164	タイ
6	7	100883873370112	0.02018324	バンカー
6	8	77985646493696	0.015602127	バンカー
6	9	78221719912448	0.015649357	バンカー
7	0	58350707818496	0.011673881	プレイヤー
7	1	49945260759040	0.009992253	プレイヤー
7	2	49787546013696	0.0099607	プレイヤー
7	3	49957422518272	0.009994686	プレイヤー
7	4	49835600281600	0.009970314	プレイヤー
7	5	55257433686016	0.011055028	プレイヤー
7	6	94910008393728	0.018988084	プレイヤー
7	7	101717538899968	0.020350027	タイ
7	8	79056148815872	0.015816296	バンカー
7	9	79299874000896	0.015865057	バンカー
8	0	88188576587776	0.017643367	プレイヤー
8	1	60551359631360	0.012114153	プレイヤー
8	2	60325437726720	0.012068954	プレイヤー
8	3	64689446563840	0.012942035	プレイヤー
8	4	64455840866304	0.012895299	プレイヤー
8	5	67329651249152	0.013470245	プレイヤー
8	6	72372438790144	0.014479126	プレイヤー
8	7	77910445719552	0.015587082	プレイヤー
8	8	54879416675072	0.010979401	タイ
8	9	55279842324480	0.011059511	バンカー
9	0	88370543349760	0.017679772	プレイヤー
9	1	60628881760256	0.012129662	プレイヤー
9	2	60401880698880	0.012084247	プレイヤー
9	3	63310197227520	0.012666097	プレイヤー
9	4	67209934278656	0.013446294	プレイヤー
9	5	67443153604608	0.013492953	プレイヤー
9	6	72499777142784	0.014504602	プレイヤー
9	7	78043684069376	0.015613739	プレイヤー
9	8	55165968408576	0.011036729	プレイヤー
9	9	55146054060032	0.011032745	タイ
合計		4998398275503360	1

このようになります。まとめると以下のとおりです。

結果	組み合わせ
バンカー勝利	2292252566437890
プレイヤー勝利	2230518282592260
タイ	475627426473216

以上です。

これでバカラの確率の全データと計算方法を紹介できました。それにしてもこの確率計算の方法を考えた人には感心しちゃいました。

さて、バカラのバンカープレイヤーの勝率って絶妙だなと思います。概ね平等に結果が出るし、それでいてカジノ側が圧倒的に有利で大勝ちするわけでもなく、場合によってはギャンブラーにも稼ぐチャンスのある確率です。

でもやっぱり数を重ねるとカジノ側が少しずつ利益が増えていく。このルール考えた人すごいですね。

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