バカラの確率と計算方法、全データ公開

バカラの確率を求めました。(というか求めてもらいました)

バカラの確率って絶妙ですよね。

タイ(引き分け)を除けば一般的にはバンカー:プレイヤーは50%だ、なんて言われて攻略を考える人もいますし。

しかし最も世界中の多くの資料で使われている確率は、8デック(8組)トランプでバンカー50.68%:プレイヤー49.32%ではないでしょうか。バンカーの方が若干多く出るわけです。

この確率がどのようにして求められたのか、その計算方法をお伝えしていくのが今回の記事となっています。

8デックと1デックバカラの確率は異なる

ジョーカーを除くトランプ52枚で1組(デック)とすると、カジノで使われるバカラは概ね8デック416枚であることが多いと思います。

そして1デックと8デックそれぞれでバンカー/プレイヤー/タイが出る確率は若干異なります。

8デッキ 1デッキ
バンカー 0.458597 0.459624
プレイヤー 0.446247 0.44676
タイ 0.095156 0.093615

1デックの方がバンカーの勝率が若干いいのがわかりますね。

まずバカラのゲーム進行のロジックを再確認

バカラはバンカーとプレイヤーに分かれて配られたカードの合計点で9点に近い方が勝ち(同点は引き分け)というゲームですね。

以下の流れでゲームが進行します。(詳細はバカラのルール

1.バンカープレイヤーそれぞれに2枚配る
2.どちらかに8点か9点が出たら、9点に近い方が勝ち
3.プレイヤーの点数が6~7点なら3枚目を引かない
4.プレイヤーの点数が5点以下なら3枚目を引く
5.以下のいずれかでバンカーが3枚目を引く
 3のとき バンカーが5点以下なら3枚目を引く
 4のとき バンカー2点以下なら3枚目を引く
 4のとき バンカー3点&プレイヤーの3枚目8点以外ならバンカー3枚目引く
 4のとき バンカー4点&プレイヤーの3枚目2~7点ならバンカー3枚目引く
 4のとき バンカー5点&プレイヤーの3枚目4~7点ならバンカー3枚目引く
 4のとき バンカー6点&プレイヤーの3枚目6~7点ならバンカー3枚目引く
 4のとき バンカー7点ならバンカー3枚目引かない

このロジックにあてはめてバカラのカード配布で起こりうるすべてのパターンを数え上げることによって、バンカー/プレイヤー/タイが発生する確率をもとめていきます。

結論→1デックと8デックバカラで全ての事象数と確率

まず結論をお伝えすると以下のようになります。

この結論にむかって確率の計算方法を解説していきます。

1デックと8デックの時の全ての事象数です。

1デッキ 8デッキ
バンカー 6737232640 2292252566437890
プレイヤー 6548674432 2230518282592260
タイ 1372227328 475627426473216
合計 14658134400 4998398275503360

組み合わせの合計で各事象を割り算して、確率になおすと以下のようになります。

1デッキ 8デッキ
バンカー 0.459624155 0.458597423
プレイヤー 0.44676043 0.446246609
タイ 0.093615415 0.095155968
合計 1 1

タイの引き分けを除き、バンカーとプレイヤーのみで見た場合

1デッキ 8デッキ
バンカー 0.507096174 0.50682483
プレイヤー 0.492903826 0.49317517
合計 1 1

バカラの確率の計算方法

考え方としては以下のように100万通りの総当たりの事象を数えていきます。

左の数字からプレイヤーの1枚目、2枚目、3枚目。バンカーの1枚目、2枚目、3枚目に配られたカードとなります。

0 0 0 0 0 0 → プレイヤーに0点札が3枚、バンカーに0点札が3枚
0 0 0 0 0 1 → プレイヤーに0点札が3枚、バンカーに0点が2枚と1点が1枚
0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 3
...
0 9 9 9 9 8
0 9 9 9 9 9
1 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 2
...
1 9 9 9 9 9
2 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 1
2 0 0 0 0 2
...
2 9 9 9 9 9
...
...
9 9 9 9 9 8
9 9 9 9 9 9 → プレイヤーに9点札が3枚、バンカーに9点札が3枚

ここまで100万通り。勿論0点のカードは[10][J][Q][K]のことですよ。

では、1デッキ52枚の場合で、組み合わせ数を数えるために、事例を見て行きましょう。

事例

0 0 0 0 0 0のケース
これは0点カードが6枚です。
0点カードは前述のように10、J、Q、Kが4枚ずつありますので全部で16枚。
その16枚のカードから6枚取るとりかたは、16P6=5765760通りあります。

0 0 0 0 0 1のケース
これは0点が5枚と、1点が1枚。
16枚ある0点カードから5枚をトル総数は16P5=524160
4枚ある1点カードから1枚をトル総数は4P1=4
524160 * 4 = 2096640通り。

0 4 1 0 5 2のケース
これは0点が2枚、4点が1枚、1点が1枚、5点が1枚、2点が1枚。
16P2 * 4P1 * 4P1 * 4P1 * 4P1 = 61440通り。

こんな感じで数えていきます。

ややこしいところはここでしょう。

4 2 0 0 7 0のケース
これは4点が1枚、2点が1枚、0点が3枚、7点が1枚。
4P1 * 4P1 * 16P3 * 4P1 = 215040通り。

あれ?バカラって最初の2枚で6点以上が出たら、3枚目は引かないんじゃなかったっけ?

そうですね。実際3枚目は引かないので、本来のバカラゲームでは以下のようになるはずです。

プレイヤー 4 2
バンカー 0 7
でバンカーの勝ち

でも今回の確率の計算では、全てのパターンを数え上げていく際に以下の様にプレイヤーに3枚、バンカーに3枚配る形にしています。

X X X X X X  ・・・ A

ところで、2枚2枚だと

X X X X ・・・ B

となってしまいます。Aという根元事象とBという根元事象が出る確率は異なります。(Bのほうが出やすい) このAとBの事象は「同様に確からしくない」ので、いっしょくたにカウントできませんので、補正を行う必要があります。

補正の計算を簡単にするために3枚目も配ったと想定すると、補正なしでカウントしてもよい根元事象にすることができます。

つまり4 2 - 0 7になる可能性は

4 2 0 0 7 0 ~ 4 2 9 0 7 9ぐらいの重みがある、ってイメージで捉えるとわかりやすい。

これは全パターンを数え上げて確率を求める際のテクニックで、3枚目を引いたテイで数えていくことで可能になります。

もう1つのややこしいところ

5 5 5 5 5 5のケース
これは5点カードが6枚だから、4枚ある5点のカードから6枚をトル組み合わせの計算、という現実に起こりえないことになります。つまりこのパターン数は0。という事に気を付けていきます。

8デッキの場合は、カード枚数が8倍になるのを考慮します。

1 0 0 0 2 3のケースだけ見ておきます。
0点カードは16枚×8デッキ=128枚もありますね。
1点カードは4枚×8デッキ=32枚、同様に2点カードも3点カードも32枚。
32P1 * 128P3 * 32P1 * 32P1 = 67117252608通り。

これで100万通りの出目が起こる組み合わせを足し算していくと、最初に出した結論のとおり、以下の結果を得ることができます。

1デックと8デックそれぞれの全ての組み合わせ数です。

1デッキ 8デッキ
バンカー 6737232640 2292252566437890
プレイヤー 6548674432 2230518282592260
タイ 1372227328 475627426473216
合計 14658134400 4998398275503360

1デッキのプレイヤーとバンカーの点数毎の組み合わせと確率

プレイヤーの点数が0点で、バンカーの点数が0点になるケースから、プレイヤー9点・バンカー9点までの組み合わせを表にしました。

(1デッキ52枚バカラ)

プレイヤー バンカー 組み合わせ 確率 勝者
0 0 76551360 0.005222449 タイ
0 1 68763392 0.004691142 バンカー
0 2 66911616 0.004564811 バンカー
0 3 76947584 0.00524948 バンカー
0 4 129684480 0.00884727 バンカー
0 5 133229824 0.009089139 バンカー
0 6 136411136 0.009306173 バンカー
0 7 155182208 0.010586764 バンカー
0 8 241059840 0.016445465 バンカー
0 9 247555904 0.016888637 バンカー
1 0 69462784 0.004738856 プレイヤー
1 1 60494080 0.004126997 タイ
1 2 59537920 0.004061767 バンカー
1 3 69313504 0.004728672 バンカー
1 4 119907264 0.008180254 バンカー
1 5 124109248 0.00846692 バンカー
1 6 120338112 0.008209647 バンカー
1 7 138788192 0.009468339 バンカー
1 8 171024832 0.011667572 バンカー
1 9 175285568 0.011958245 バンカー
2 0 67277696 0.004589786 プレイヤー
2 1 58975360 0.004023388 プレイヤー
2 2 56544096 0.003857523 タイ
2 3 66718464 0.004551634 バンカー
2 4 111303168 0.00759327 バンカー
2 5 127310912 0.008685342 バンカー
2 6 124328864 0.008481902 バンカー
2 7 134938688 0.00920572 バンカー
2 8 165202112 0.011270337 バンカー
2 9 169312064 0.011550724 バンカー
3 0 67271936 0.004589393 プレイヤー
3 1 58639136 0.00400045 プレイヤー
3 2 56806784 0.003875444 プレイヤー
3 3 65871744 0.00449387 タイ
3 4 111848704 0.007630487 バンカー
3 5 136109568 0.0092856 バンカー
3 6 133009248 0.009074091 バンカー
3 7 137169408 0.009357904 バンカー
3 8 168635904 0.011504595 バンカー
3 9 172932160 0.011797692 バンカー
4 0 68846528 0.004696814 プレイヤー
4 1 60202496 0.004107105 プレイヤー
4 2 58628864 0.003999749 プレイヤー
4 3 59903616 0.004086715 プレイヤー
4 4 103677600 0.007073042 タイ
4 5 123262784 0.008409173 バンカー
4 6 132507200 0.009039841 バンカー
4 7 136648704 0.00932238 バンカー
4 8 166909056 0.011386787 バンカー
4 9 170556032 0.011635589 バンカー
5 0 71825664 0.004900055 プレイヤー
5 1 63417152 0.004326414 プレイヤー
5 2 61573248 0.00420062 プレイヤー
5 3 62842112 0.004287184 プレイヤー
5 4 100615296 0.006864127 プレイヤー
5 5 118393280 0.008076968 タイ
5 6 136613760 0.009319996 バンカー
5 7 140949056 0.009615757 バンカー
5 8 172528832 0.011770177 バンカー
5 9 177478720 0.012107866 バンカー
6 0 161342208 0.011007008 プレイヤー
6 1 143955520 0.009820862 プレイヤー
6 2 141683936 0.009665891 プレイヤー
6 3 145048352 0.009895417 プレイヤー
6 4 149367168 0.010190053 プレイヤー
6 5 167527232 0.01142896 プレイヤー
6 6 272518848 0.018591646 タイ
6 7 297135552 0.020271035 バンカー
6 8 224742144 0.015332247 バンカー
6 9 229770240 0.015675272 バンカー
7 0 167840640 0.011450341 プレイヤー
7 1 150818272 0.01028905 プレイヤー
7 2 146639424 0.010003962 プレイヤー
7 3 151179584 0.010313699 プレイヤー
7 4 147993216 0.01009632 プレイヤー
7 5 166613120 0.011366598 プレイヤー
7 6 280233600 0.019117958 プレイヤー
7 7 301702112 0.020582572 タイ
7 8 233052544 0.015899195 バンカー
7 9 239069120 0.016309655 バンカー
8 0 249762688 0.017039187 プレイヤー
8 1 179354304 0.012235821 プレイヤー
8 2 173924224 0.011865372 プレイヤー
8 3 191360960 0.013054933 プレイヤー
8 4 186164992 0.012700456 プレイヤー
8 5 198932928 0.013571504 プレイヤー
8 6 208709952 0.014238507 プレイヤー
8 7 229301504 0.015643294 プレイヤー
8 8 153755136 0.010489407 タイ
8 9 163139008 0.011129589 バンカー
9 0 256475968 0.017497177 プレイヤー
9 1 183767680 0.012536908 プレイヤー
9 2 178113600 0.012151178 プレイヤー
9 3 192293120 0.013118526 プレイヤー
9 4 198309056 0.013528942 プレイヤー
9 5 204179904 0.01392946 プレイヤー
9 6 213591040 0.014571502 プレイヤー
9 7 235075712 0.016037219 プレイヤー
9 8 162825856 0.011108225 プレイヤー
9 9 162719072 0.01110094 タイ
合計 14658134400 1

このようになります。合計すると以下のとおりです。プレイヤーよりバンカーの方が勝ちやすいのがわかりますね。

結果 組み合わせ
バンカー勝利 6737232640
プレイヤー勝利 6548674432
タイ 1372227328

8デッキのプレイヤーとバンカーの点数毎の組み合わせと確率

こちらが8デッキ416枚でプレイした場合の、プレイヤー0点・バンカー0点~プレイヤー9点バンカー9点までの組み合わせを表にしたものです。

プレイヤー バンカー 組み合わせ 確率 勝者
0 0 28979901420544 0.005797838 タイ
0 1 24291119898624 0.004859781 バンカー
0 2 24211866148864 0.004843925 バンカー
0 3 26957461020672 0.00539322 バンカー
0 4 46033607532544 0.009209672 バンカー
0 5 46171612971008 0.009237282 バンカー
0 6 48639204401152 0.009730958 バンカー
0 7 54083703291904 0.010820207 バンカー
0 8 85076577230848 0.017020768 バンカー
0 9 85351454494720 0.017075761 バンカー
1 0 24639193538560 0.004929418 プレイヤー
1 1 20499217668352 0.004101157 タイ
1 2 20469715722240 0.004095255 バンカー
1 3 23203622991872 0.004642212 バンカー
1 4 40593010774016 0.008121204 バンカー
1 5 40755264745472 0.008153665 バンカー
1 6 40608057946112 0.008124214 バンカー
1 7 46026293614592 0.009208209 バンカー
1 8 57774350200832 0.011558573 バンカー
1 9 57948328357888 0.01159338 バンカー
2 0 24214066700288 0.004844365 プレイヤー
2 1 20114458411008 0.004024181 プレイヤー
2 2 20006606104576 0.004002603 タイ
2 3 22766694555648 0.004554798 バンカー
2 4 38585331400704 0.007719539 バンカー
2 5 42895386193920 0.008581826 バンカー
2 6 42768049588224 0.008556351 バンカー
2 7 45544433684480 0.009111806 バンカー
2 8 57197896224768 0.011443245 バンカー
2 9 57372732461056 0.011478223 バンカー
3 0 23748210556928 0.004751164 プレイヤー
3 1 19634953029632 0.003928249 プレイヤー
3 2 19563259723776 0.003913906 プレイヤー
3 3 22250510129408 0.004451528 タイ
3 4 38147840425984 0.007632013 バンカー
3 5 45111417946112 0.009025175 バンカー
3 6 44979215931392 0.008998726 バンカー
3 7 45155412082688 0.009033976 バンカー
3 8 56875337277440 0.011378713 バンカー
3 9 57051058384896 0.011413868 バンカー
4 0 24642962657280 0.004930172 プレイヤー
4 1 20535822327808 0.004108481 プレイヤー
4 2 20465430315008 0.004094398 プレイヤー
4 3 20521555795968 0.004105626 プレイヤー
4 4 36294133463040 0.007261153 タイ
4 5 41782247059456 0.008359127 バンカー
4 6 45802040381440 0.009163344 バンカー
4 7 45975559438336 0.009198058 バンカー
4 8 57616152412160 0.011526923 バンカー
4 9 57790127128576 0.011561729 バンカー
5 0 25228523110400 0.005047322 プレイヤー
5 1 21127406358528 0.004226835 プレイヤー
5 2 21055697346560 0.004212489 プレイヤー
5 3 21104461946880 0.004222245 プレイヤー
5 4 34322188435456 0.006866637 プレイヤー
5 5 39684046743808 0.007939353 タイ
5 6 46435736207360 0.009290123 バンカー
5 7 46610049437696 0.009324997 バンカー
5 8 58332350017536 0.011670208 バンカー
5 9 58535141937152 0.01171078 バンカー
6 0 57372381863936 0.011478153 プレイヤー
6 1 48967402696704 0.009796619 プレイヤー
6 2 48870027180032 0.009777137 プレイヤー
6 3 48999874119680 0.009803115 プレイヤー
6 4 51520246087680 0.010307351 プレイヤー
6 5 56928963244032 0.011389441 プレイヤー
6 6 96170001308416 0.019240164 タイ
6 7 100883873370112 0.02018324 バンカー
6 8 77985646493696 0.015602127 バンカー
6 9 78221719912448 0.015649357 バンカー
7 0 58350707818496 0.011673881 プレイヤー
7 1 49945260759040 0.009992253 プレイヤー
7 2 49787546013696 0.0099607 プレイヤー
7 3 49957422518272 0.009994686 プレイヤー
7 4 49835600281600 0.009970314 プレイヤー
7 5 55257433686016 0.011055028 プレイヤー
7 6 94910008393728 0.018988084 プレイヤー
7 7 101717538899968 0.020350027 タイ
7 8 79056148815872 0.015816296 バンカー
7 9 79299874000896 0.015865057 バンカー
8 0 88188576587776 0.017643367 プレイヤー
8 1 60551359631360 0.012114153 プレイヤー
8 2 60325437726720 0.012068954 プレイヤー
8 3 64689446563840 0.012942035 プレイヤー
8 4 64455840866304 0.012895299 プレイヤー
8 5 67329651249152 0.013470245 プレイヤー
8 6 72372438790144 0.014479126 プレイヤー
8 7 77910445719552 0.015587082 プレイヤー
8 8 54879416675072 0.010979401 タイ
8 9 55279842324480 0.011059511 バンカー
9 0 88370543349760 0.017679772 プレイヤー
9 1 60628881760256 0.012129662 プレイヤー
9 2 60401880698880 0.012084247 プレイヤー
9 3 63310197227520 0.012666097 プレイヤー
9 4 67209934278656 0.013446294 プレイヤー
9 5 67443153604608 0.013492953 プレイヤー
9 6 72499777142784 0.014504602 プレイヤー
9 7 78043684069376 0.015613739 プレイヤー
9 8 55165968408576 0.011036729 プレイヤー
9 9 55146054060032 0.011032745 タイ
合計 4998398275503360 1
このようになります。まとめると以下のとおりです。
結果 組み合わせ
バンカー勝利 2292252566437890
プレイヤー勝利 2230518282592260
タイ 475627426473216

以上です。

これでバカラの確率の全データと計算方法を紹介できました。それにしてもこの確率計算の方法を考えた人には感心しちゃいました。

さて、バカラのバンカープレイヤーの勝率って絶妙だなと思います。概ね平等に結果が出るし、それでいてカジノ側が圧倒的に有利で大勝ちするわけでもなく、場合によってはギャンブラーにも稼ぐチャンスのある確率です。

でもやっぱり数を重ねるとカジノ側が少しずつ利益が増えていく。このルール考えた人すごいですね。

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