ブラックジャックの確率を計算しよう

ブラックジャックで自分の手札を見て、ディーラーの表向きのカードを見て、ヒットするかスタンドをするか判断すると思いますが、ディーラーの表向きカードがどんな数字のときが強いのか(あるいは弱いのか)を確率を求めて確認してみましょう。

また、ブラックジャックにはいくつかの派生ゲームがあります。

私がよくプレイするベラジョンカジノのBlackjack X Changeや、Deal or No Deal BlackjackなどはプレイヤーのHIT/STNADの判断が迫られる前に、カードを売却するか否か、降参するかどうかのオプションが設けられてたりします。

それで今自分の手はどれぐらい強いのか、ディーラーの手はどれぐらい強いのか、を考えて勝負に出るか降参するか選択することもあると思います。

その時に重要になるのがディーラーが高得点になる確率であったり、バスト(21点を超える)する確率です。

この記事ではディーラーのアップカードを見てその後どんな風に手札が変わっていくのか確率を求めてみます。

ブラックジャックでの確率の計算の仕方ルール

基本的なブラックジャックのルールを踏襲します。

・ディーラーは17点以上でスタンド(Aを含むソフトハンド17点以上もスタンド)
・ディーラーは16点以下は必ずヒット
・ディーラーは最初に自分のブラックジャックをチェックする

また カードの枚数は6デック(52枚×6=312枚)や、8デック(52枚×8=416枚)を使う事が多いのですが厳密には計算には用いません

本来ならディーラーに1枚配られるので6デックなら311枚が山に残ってるカード枚数になりますし8デックなら415枚が残ってることになりますが、そのことは加味しません。

例えば52枚の山からAを引く確率はAは4枚あるので、4/52です。=1/13

例えば8デック(416枚)の山からAを引く確率はAは32枚あるので、32/416です。=1/13

つまり13種類のカードから1種類を引く、ということで代用します。

例えばAを引くのは13分の1の確率です。10点(10、J、Q、K)を引く確率は13分の4となります。

ここは計算をする上で混乱のもとなので予めこの考え方を提示しました。

前提となる基本部分の確率計算

これからディーラーのアップカードから想像してどんな点数にどれぐらいの確率でなるかを計算しますが、その前に基本部分の確率を計算しておきます。

今の点数が16点のとき17点になる確率

これはAを引いたときのみ17点になるので、1/13なので0.07769です。・・・①

今の点数が15点のとき17点になる確率

これは2を引いたとき・・・1/13
Aを引いて16点になり、その後さらにAを引けば17点になる・・・1/13×①

この2つの合計は0.0828・・・・②

今の点数が14点のとき17点になる確率

3点を引いたとき・・・1/13
2点を引いて16点になりその後Aを引いた・・・1/13×①
Aを引いて15点になり、その後17点になった・・・1/13×②

この合計は0.0892・・・・・③

今の点数が13点のとき17点になる確率

4点を引いて17点・・・1/13
3点を引いて16点になった・・・1/13×①
2点を引いて15点になった・・・1/13×②
Aを引いて14点になった・・・1/13×③

これらの合計は0.0961・・・・・④

今の点数が12点のとき17点になる確率

5点を引いて17点・・・1/13
4点を引いて16点になった・・・1/13×①
3点を引いて15点になった・・・1/13×②
2点を引いて14点になった・・・1/13×③
Aを引いて13点になった・・・1/13×④

合計すると0.1035・・・・・⑤

今の点数が11点のとき17点になる確率

6点を引いて17点・・・1/13
5点を引いて16点・・・1/13×①
4点を引いて15点・・・1/13×②
3点を引いて14点・・・1/13×③
2点を引いて13点・・・1/13×④
Aを引いて12点・・・・1/13×⑤

合計すると0.1114・・・・・⑥

今の点数が10点のとき17点になる確率

7点をひいて17点・・・1/13
6点を引いて16点・・・1/13×①
5点を引いて15点・・・1/13×②
4点を引いて14点・・・1/13×③
3点を引いて13点・・・1/13×④
2点を引いて12点・・・1/13×⑤

Aを引いたらブラックジャックになるので、ここまで。

合計は0.1114・・・・・⑦

今の点数が9点のとき17点になる確率

8点をひいて17点・・・1/13
7点をひいて16点・・・1/13×①
6点を引いて15点・・・1/13×②
5点を引いて14点・・・1/13×③
4点を引いて13点・・・1/13×④
3点を引いて12点・・・1/13×⑤
2点を引いて11点・・・1/13×⑥

Aを引くと20点になってしまうので、ここまで。

合計すると0.1200・・・・・⑧

今の点数が8点のとき17点になる確率

9点をひいて17点・・・1/13
8点をひいて16点・・・1/13×①
7点をひいて15点・・・1/13×②
6点を引いて14点・・・1/13×③
5点を引いて13点・・・1/13×④
4点を引いて12点・・・1/13×⑤
3点を引いて11点・・・1/13×⑥
2点を引いて10点・・・1/13×⑦

合計すると0.1286・・・・・⑨

今の点数が7点のとき17点になる確率

10点をひいて17点になりますが、10点カードは10, J, Q, Kあるので4/13という確率になります
9点をひいて16点・・・1/13×①
8点をひいて15点・・・1/13×②
7点をひいて14点・・・1/13×③
6点を引いて13点・・・1/13×④
5点を引いて12点・・・1/13×⑤
4点を引いて11点・・・1/13×⑥
3点を引いて10点・・・1/13×⑦
2点を引いて9点・・・1/13×⑧

合計すると0.3686・・・・・⑩

今の点数が6点のとき17点になる確率

Aを引いて17点・・・1/13
10点をひいて16点・・・4/13×①
9点をひいて15点・・・1/13×②
8点をひいて14点・・・1/13×③
7点をひいて13点・・・1/13×④
6点を引いて12点・・・1/13×⑤
5点を引いて11点・・・1/13×⑥
4点を引いて10点・・・1/13×⑦
3点を引いて9点・・・1/13×⑧
2点を引いて8点・・・1/13×⑨

合計すると0.1654・・・・・⑪

今の点数が5点のとき17点になる確率

これを求めるのは難しいです。

5点あるところにAをひくと6点にも16点にもなるからです。

このためまずは[A 5]という2枚のカードセットを持っているときに、17点になる確率を先に求める必要があります。

今のカードが[A 5]のときに17点になる確率

まずここにAを引けば、手札が[A A 5]になります。1枚のAは11点と考えれば合計17点になります。これでディーラーは17点になるのでスタンドします。・・・1/13

10点を引いた場合は[A 5 10]となり16点です。
10点札は4枚あるので4/13
これに16点から17点になる確率である①をかければ・・・4/13×①

9点を引いた場合は[A 5 9]となり15点・・・1/13×②

8点を引いた場合は[A 5 8]となり14点・・・1/13×③

7点を引いたら[A 5 7]なので13点・・・1/13×④

6点を引いたら[A 5 6]なので12点・・・1/13×⑤

5点を引くと[A 5 5]となりますが、この場合Aは11点に計算されて合計21点になります。同様に4,3,2点を引いた場合も17点をこえてディーラーSTANDになるので、計算には入りません。

ということで合計すると0.1292・・・・・⑫

では、今の点数が5点のときに17点になる確率の計算まで戻ります

Aを引いて[A 5]になったとき・・・1/13×⑫
2を引いて7点になった・・・1/13×⑩
3をひいて8点になった・・・1/13×⑨
4をひいて9点になった・・・1/13×⑧
5をひいて10点になった・・・1/13×⑦
6をひいて11点になった・・・1/13×⑥
7をひいて12点になった・・・1/13×⑤
8をひいて13点になった・・・1/13×④
9をひいて14点になった・・・1/13×③
10をひいて15点になった・・・4/13×②

合計すると0.1223・・・・・・⑬

いまの手札が[A 4]で17点になる確率

Aを引いて[A 4 A]でA1枚は11点と数えて16点になり、さらに17点になる確率・・・1/13×①
10をひいたら[A 4 10]で15点・・・4/13×②
9をひいて[A 4 9]で14点・・・1/13×③
8をひいて[A 4 8]で13点・・・1/13×④
7をひいて[A 4 7]で12点・・・1/13×⑤
6をひくと[A 4 6]で21点・・・なし
2をひいて[A 4 2]で17点・・・1/13

合計すると0.1346・・・・・⑭

今の点数が4点のときに17点になる確率の計算

Aをひいて[A 4]になってからの17点になる確率・・・1/13×⑭
2をひいて6点になってから17点になる確率・・・1/13×⑪
3をひいて7点・・・1/13×⑩
4をひいて8点・・・1/13×⑨
5をひいて9点・・・1/13×⑧
6を引いて10点・・・1/13×⑦
7を引いて11点・・・1/13×⑥
8をひいて12点・・・1/13×⑤
9をひいて13点・・・1/13×④
10をひいて14点・・・4/13×③

合計すると0.1305・・・・・⑮

今の手札が[A 3]から17点になる確率の計算

Aをひいて[A 3 A]は15点になり、さらに17点になる確率・・・1/13×②
2をひいて[A 3 2]は16点になり、さらに17点になる確率・・・1/13×①
3をひいて[A 3 3]は17点・・・1/13
4をひいて[A 3 4]は18点・・・なし
8をひいて[A 3 8]は12点・・・1/13×⑤
9をひいて[A 3 9]は13点・・・1/13×④
10をひいて[A 3 10]は14点・・・4/13×③

合計すると0.1400・・・・・・⑯

今の点数が3点のときに17点になる確率の計算

Aをひいて[A 3]になり、さらに17点になる確率・・・1/13×⑯
2をひいて5点になり、さらに17点になる確率・・・1/13×⑬
3をひいて6点・・・1/13×⑪
4をひいて7点・・・1/13×⑩
5をひいて8点・・・1/13×⑨
6を引いて9点・・・1/13×⑧
7を引いて10点・・・1/13×⑦
8を引いて11点・・・1/13×⑥
9を引いて12点・・・1/13×⑤
10をひいて13点・・・4/13×④

合計すると0.1350・・・・・・⑰

今の手札が[A 2]から17点になる確率の計算

Aをひいて[A 2 A]は14点からの17点・・・1/13×③
2をひいて[A 2 2]は15点からの17点・・・1/13×②
3をひいて[A 2 3]は16点からの17点・・・1/13×①
4をひいて[A 2 4]は17点・・・1/13
9を引いて[A 2 9]は12点・・・1/13×⑤
10をひいて[A 2 10]は13点・・・4/13×④

合計すると0.1455・・・・・⑱

今の点数が2点のときに17点になる確率の計算

Aをひいて[A 2]になってから17点になる確率・・・1/13×⑱
2をひいて4点からの17点になる確率・・・1/13×⑮
3をひいて5点・・・1/13×⑬
4をひいて6点・・・1/13×⑪
5をひいて7点・・・1/13×⑩
6をひいて8点・・・1/13×⑨
7をひいて9点・・・1/13×⑧
8を引いて10点・・・1/13×⑦
9をひいて11点・・・1/13×⑥
10をひいて12点・・・1/13×⑤

合計すると0.1398・・・・・・⑲

今の手札が[A A]から17点になる確率の計算

Aをひいて[A A A]は13点からの17点になる確率・・・1/13×④
2をひいて[A A 2]は[A 3]からの17点になる確率・・・1/13×⑯
3をひいて[A A 3]は[A 4]・・・1/13×⑭
4をひいて[A A 4]は[A 5]・・・1/13×⑫
5をひいて[A A 5]は17点・・・1/13
10をひいて[A A 10]は12点・・・4/13×⑤

合計すると0.1510・・・・・⑳

今の手札がAのときに17点になる確率の計算

Aをひいて[A A]から17点になる確率・・・1/13×⑳
2をひいて[A 2]から17点になる確率・・・1/13×⑱
3を引いて[A 3]・・・1/13×⑯
4を引いて[A 4]・・・1/13×⑭
5をひいて[A 5]・・・1/13×⑫
6をひいて[A 6]は17点・・・1/13

合計すると0.1308・・・・・㉑

ここまでの計算を表でまとめると以下のようになります。

今の点数 17点になる確率
16 0.0769
15 0.0828
14 0.0892
13 0.0961
12 0.1035
11 0.1114
10 0.1114
9 0.1200
8 0.1286
7 0.3686
6 0.1654
5 0.1223
4 0.1305
3 0.1350
2 0.1398
A 0.1308
ソフトハンド 17点になる確率
A A 0.1510
A 2 0.1455
A 3 0.1400
A 4 0.1346
A 5 0.1292

ディーラーの確率のすべて

基本的な確率の計算が出来たので、 ディーラーのアップカードがA、2、3、4、5、6、7、8、9、10、J、Q、Kが見えてる時に、17点になる確率を求めてみます。

ディーラーのアップカードがAのとき

ディーラーは最初にブラックジャック(A+10点カード)をチェックし、ブラックジャックでなければプレイヤー判断に進みます。

なので、このとき10点カードではない場合というのが前提です。

すでに13種のカードから10点カード(10, J, Q, K)ではないことがわかっているので、残種は9種類のカードです。

Aから17点になる確率は
6をひいて17点になる確率・・・1/9
5をひいて[A 5]になってから17点になる確率・・・1/9×⑫
4をひいて[A 4]からの17点・・・1/9×⑭
3をひいて[A 3]からの17点・・・1/9×⑯
2をひいて[A 2]からの17点・・・1/9×⑱
Aをひいて[A A]からの17点・・・1/9×⑳

合計すると0.18892となります。

ディーラーのアップカードが10点(10, J, Q, K)のとき17点になる確率

こちらもディーラーの2枚目がAではないことが前提です。Aだったらブラックジャック成立なので。

ということでAを除く12種のカードから引く確率です。

7をひいて17点・・・1/12
6をひいて16点・・・1/12×①
5をひいて15点・・・1/12×②
4をひいて14点・・・1/12×③
3をひいて13点・・・1/12×④
2を引いて12点・・・1/12×⑤

合計すると0.12071となります。

ディーラーのアップカードが9点~2点のとき17点になる確率

これは先に計算したものがそのまま当てはまります。

まとめディーラーが17点になる確率

ディーラーのアップカードが開示された後に17点になる確率です。

見ればわかりますが当然アップカードが7だったときが一番17点になりやすい(確率36.8%)となっています。

ディーラーのアップカード 17点になる確率
A 0.18892
10 0.12071
9 0.12000
8 0.12857
7 0.36857
6 0.16544
5 0.12225
4 0.13049
3 0.13503
2 0.13981

今の点数からバストする確率を求める

17点になる確率が求まりましたので、18点~21点やバストする確率も同様に求めることができます。

ここではバスト(21点を超えてしまう)する確率を求めてみましょう。

16点からヒットしてバストする確率

これは6、7、8、9、10点(10, J, Q, K)カードを引いたらバストしてしまいます。

つまり確率は8通り。8/13です・・・・・0.61538・・・・・★1

16点からヒットをすると60%以上の確率でバストしてしまう事を表しています。

15点からバストする確率

これは7、8、9、10、J、Q、Kを引くとバストですので、7/13です。

さらにAを引くと16点になりディーラーはまだヒットしなくてはいけないので、16点からバストする確率が乗算されます。

Aを引く確率は1/13なので、これに★1をかけます

この2つを合算すれば15点からバストする確率は0.5858・・・・・★2

14点からバストする確率

8、9、10、J、Q、Kの6種をひけばバストします。6/13
Aを引いて15点になってからバストする確率・・・1/13×★2
2を引いて16点になってからバストする確率・・・1/13×★1

この3つを合算すれば、0.5539・・・・・・★3

13点からバストする確率

9、10、J、Q、Kの5種をひけばバストしますので5/13
Aをひいて14点からバストする確率・・・1/13×★3
2をひいて15点からバストする確率・・・1/13×★2
3をひいて16点からバストする確率・・・1/13×★1

合算すれば0.5196・・・・・・★4

12点からバストする確率

10、J、Q、Kの4種をひけばバストするので4/13
Aをひいて13点からバストする・・・1/13×★4
2をひいて14点からバストする・・・1/13×★3
3をひいて15点からバストする・・・1/13×★2
4をひいて16点からバストする・・・1/13×★1

合算すれば0.48267・・・・・・★5

となります。12点でも次にヒットしてバストしてしまう確率が50%近くもあるのですね。

11点からバストする確率

11点のときは最大の10点カードを引いても21点となるためバストはしません。 けど2枚、3枚とひくような流れになってしまうとバストする可能性がでてきます。

Aをひいて12点からバスト・・・1/13×★5
2をひいて13点からバスト・・・1/13×★4
3をひいて14点からバスト・・・1/13×★3
4をひいて15点からバスト・・・1/13×★2
5をひいて16点からバスト・・・1/13×★1

合算すれば0.2121・・・・・・★6

10点からバストする確率

7~K、Aを引くとバストではなく勝負になります。

2をひいて12点からバスト・・・1/13×★5
3をひいて13点からバスト・・・1/13×★4
4をひいて14点からバスト・・・1/13×★3
5をひいて15点からバスト・・・1/13×★2
6をひいて16点からバスト・・・1/13×★1

合算すれば0.2121・・・・・・★7

9点からバストする確率

2をひいて11点からバスト・・・1/13×★6
3をひいて12点からバスト・・・1/13×★5
4をひいて13点からバスト・・・1/13×★4
5をひいて14点からバスト・・・1/13×★3
6をひいて15点からバスト・・・1/13×★2
7をひいて16点からバスト・・・1/13×★1

合算すると0.2284・・・・・・★8

8点からバストする確率

2をひいて10点からバスト・・・1/13★7
3をひいて11点からバスト・・・1/13★6
4をひいて12点からバスト・・・1/13★5
5をひいて13点からバスト・・・1/13★4
6をひいて14点からバスト・・・1/13★3
7をひいて15点からバスト・・・1/13★2
8をひいて16点からバスト・・・1/13★1

合算すれば0.2447・・・・・・★9

7点からバストする確率

2をひいて9点からバスト・・・1/13★8
3をひいて10点からバスト・・・1/13★7
4をひいて11点からバスト・・・1/13★6
5をひいて12点からバスト・・・1/13★5
6をひいて13点からバスト・・・1/13★4
7をひいて14点からバスト・・・1/13★3
8をひいて15点からバスト・・・1/13★2
9をひいて16点からバスト・・・1/13★1

合算すれば0.2623・・・・・・★10

6点からバストする確率

2を引いて8点からバスト・・・1/13×★9
3を引いて9点からバスト・・・1/13×★8
4を引いて10点からバスト・・・1/13×★7
5を引いて11点からバスト・・・1/13×★6
6を引いて12点からバスト・・・1/13×★5
7を引いて13点からバスト・・・1/13×★4
8を引いて14点からバスト・・・1/13×★3
9を引いて15点からバスト・・・1/13×★2
10を引いて16点からバスト・・・4/13×★1(10点札は4種あるので4/13)

合算すると0.4232・・・・・・★1

手持ちカード[A 5]からバストする確率

10をひいて[A 5 10]の16点からバストする確率・・・4/13×★1
9をひいて[A 5 9]の15点・・・1/13×★2
8をひいて[A 5 8]の14点・・・1/13×★3
7をひいて[A 5 7]の13点・・・1/13×★4
6をひいて[A 5 6]の12点・・・1/13×★

合算すれば0.3541・・・・・・★12

手持ちカード[A 4]からバストする確率

Aをひいて[A 4 A]の[A 5]からのバストする確率とうことになる・・・1/13×★12
10をひいて[A 4 10]の15点からバストする確率・・・1/13×★2
9をひいて[A 4 9]の14点からバストする確率・・・1/13×★3
8をひいて[A 4 8]の13点からバストする確率・・・1/13×★4
7をひいて[A 4 7]の12点からバストする確率・・・1/13×★5

合算すれば0.3272・・・・・・★13

手持ちカード[A 3]からバストする確率

Aをひけば[A 3 A]となり、これは[A 4]とイコールなので[A 4]からバストする確率となる・・・1/13×★13
2をひけば[A 3 2]は[A 5]からバストする確率・・・1/13×★12
10をひけば[A 3 10]は14点からバストする確率・・・4/13×★3
9をひけば[A 3 9]は13点からバストする確率・・・1/13×★4
8をひけば[A 3 8]は12点からバストする確率・・・1/13×★5

合算すれば0.30000・・・・・・・★14

手持ちカード[A 2]からバストする確率

Aをひいて[A 2 A]=[A 3]からバストする確率・・・1/13×★14
2をひいて[A 2 2]=[A 4]からバストする確率・・・1/13×★13
3をひいて[A 2 3]=[A 5]からバストする確率・・・1/13×★12
9をひいて[A 2 9]=12点から・・・1/13×★5
10をひいて[A 2 10]=13点から・・・4/13×★4

合算すれば0.2725・・・・・・★15

手持ちカード[A A]からバストする確率

Aをひいて[A A A]=[A 2]からバストする確率・・・1/13×★15
2をひいて[A A 2]=[A 3]からバストする確率・・・1/13×★14
3をひいて[A A 3]=[A 4]からバストする確率・・・1/13×★13
4をひいて[A A 4]=[A 5]からバストする確率・・・1/13×★12
10をひいて[A A 10]=12点からバストする確率・・・4/13×5

合算すれば0.2450・・・・・・・★16

これで基本的なバストする確率は求められました。

表にしてみますと。

今の点数 BUSTする確率
16 0.6154
15 0.5858
14 0.5539
13 0.5196
12 0.4827
11 0.2121
10 0.2121
9 0.2284
8 0.2447
7 0.2623
6 0.4232
5 0.4164
4 0.3945
3 0.3739
2 0.3536
A 0.1153
ソフトハンド BUSTする確率
A A 0.2450
A 2 0.2725
A 3 0.3000
A 4 0.3272
A 5 0.3541

つぎはディーラーのアップカードを見てバストする確率を求めてみます。

ディーラーのアップカードからバストする確率

ディーラーのアップカードがAのときバストする確率

先ほどと同様にブラックジャックチェックを通過した後なので、10点札はもうないと考えます。なので残る種類は9種類です。

Aをひいて[A A]からバストする確率・・・1/9×★16
2をひいて[A 2]からバストする確率・・・1/9×★15
3をひいて[A 3]からバストする確率・・・1/9×★14
4をひいて[A 4]からバストする確率・・・1/9×★13
5をひいて[A 5]からバストする確率・・・1/9×★12

合算すると0.1665・・・・・・・★17

ディーラーのアップカードが10のときバストする確率

2をひいて12点からバストする確率・・・1/9×★5
3をひいて13点からバストする確率・・・1/9×★4
4をひいて14点からバストする確率・・・1/9×★3
5をひいて15点からバストする確率・・・1/9×★2
6をひいて16点からバストする確率・・・1/9×★1

合算すると0.2298・・・・・・・★18

ディーラーのアップカードが9~2のとき

先に計算した基本的なバストする確率と同じです。

まとめディーラーのアップカードを見てバストする確率

まとめるとこのようになりました。

やはりバストする確率はアップカードが6の時が最も大きく42%以上の確率でバストします。

7点になるととたんにバストする確率が減る(26%)ことがわかります。

この表からわかるとおり、ディーラーのアップカードが4、5、6のときはバストする確率が40%前後もあるので、弱い手だと考えることができますね。

ディーラーのアップカード BUSTする確率
A 0.1665
10 0.2298
9 0.2284
8 0.2447
7 0.2623
6 0.4232
5 0.4164
4 0.3945
3 0.3739
2 0.3536

すべてのディーラーハンドの確率

すべてのディーラーのアップカードからの可能性を表にしました。ディーラーは16点以下は必ずヒットしないといけないので17点~21点、あるいはバストしかありまえません。

ディーラーのアップカード 17点 18点 19点 20点 21点 BUST
A 0.1889 0.1889 0.1889 0.1889 0.0778 0.1665
10 0.1207 0.1207 0.1207 0.3707 0.0374 0.2298
9 0.1200 0.1200 0.3508 0.1200 0.0608 0.2284
8 0.1286 0.3593 0.1286 0.0694 0.0694 0.2447
7 0.3686 0.1378 0.0786 0.0786 0.0741 0.2623
6 0.1654 0.1063 0.1063 0.1017 0.0972 0.4232
5 0.1223 0.1223 0.1177 0.1131 0.1082 0.4164
4 0.1305 0.1259 0.1214 0.1165 0.1112 0.3945
3 0.1350 0.1305 0.1256 0.1203 0.1147 0.3739
2 0.1398 0.1349 0.1297 0.1240 0.1180 0.3536

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